Clear[k, δ, dn, N1, N2, Θ1, D0, D1, D2, a1, a2, 
        d];

Integrate[N1/a1, {x, 0, d}] + 
      Integrate[(N1/a1 + N2/a2), {x, d, 
          a1}] + 
Integrate[
        N2/a2, {x, a1, d + a2}]

Simplify[%]

(Integrate[x*N1/a1, {x, 0, d}] + 
          Integrate[
            x*(N1/a1 + N2/a2), {x, d, a1}] + 
Integrate[
            x*N2/a2, {x, a1, d + a2}])/(N1 + N2)

Simplify[%]

(Integrate[x*x*N1/a1, {x, 0, d}] + 
          Integrate[
            x*x*(N1/a1 + N2/a2), {x, d, 
              a1}] + 
Integrate[
            x*x*N2/a2, {x, a1, d + a2}])/(N1 + N2)

Simplify[%]

(((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 3 (d^2)) N2)/(3 (N1 + N2))) - (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2)/(2 (N1 + N2))))^2

Simplify[%]

N2 = 5; N1 = N2; a1 = 2; a2 = a1; 
    Plot[Sqrt[(1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 
              4 (N1 + 
                    N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                          3 (d^2)) N2))], {d, 0, 10}]

Clear[N1, N2, a1, a2, d];

a1 = D1*Tan[Θ1]; 
    a2 = D2*Tan[Θ1 - δ]; 
    d = L*Tan[Θ1] - (L + D1)*
          Tan[Θ1 - δ]; D1 = k*D0; D2 = D0 - D1; 
    Sqrt[(1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 
            4 (N1 + 
                  N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                        3 (d^2)) N2))]

Clear[N1, N2, a1, a2, d, Θ1, δ, D1, D2, D0, L, k, 
      dn]; a1 = D1*Tan[Θ1]; 
    a2 = D2*Tan[Θ1 - δ]; 
    d = L*Tan[Θ1] - (L + D1)*
          Tan[Θ1 - δ]; D1 = k*D0; D2 = D0 - D1; 
    N1 = 50*D1*(Sin[Θ1])^2*Exp[-D1/2/Lam1]; 
    N2 = 50*D2*(Sin[Θ1 - δ])^2*
        Exp[-D2/2/Lam2 - D1/Lam1];
Lam1 = 3; Lam2 = 3; 
    Sqrt[(1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 
            4 (N1 + 
                  N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                        3 (d^2)) N2))]

Clear[N1, N2, a1, a2, d, Θ1, δ, D1, D2, D0, L, k, 
      dn]; a1 = D1*Tan[Θ1]; 
    a2 = D2*Tan[Θ1 - δ]; 
    d = L*Tan[Θ1] - (L + D1)*
          Tan[Θ1 - δ]; D1 = k*D0; D2 = D0 - D1; 
    N1 = 50*D1*(Sin[Θ1])^2*Exp[-D1/2/Lam1]; 
    N2 = 50*D2*(Sin[Θ1 - δ])^2*
        Exp[-D2/2/Lam2 - D1/Lam1];
Lam1 = 3; Lam2 = 3; 
    Sqrt[((1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 
                  4 (N1 + 
                        N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                              3 (d^2)) N2)) + pad^2/12)/(N1 + 
            N2)]

Clear[N1, N2, a1, a2, d, Θ1, δ, D1, D2, D0, L, k, 
      dn, pad]; a1 = D1*Tan[Θ1]; 
    a2 = D2*Tan[Θ1 - δ]; 
    d = L*Tan[Θ1] - (L + D1)*
          Tan[Θ1 - δ]; D1 = k*D0; D2 = D0 - D1; 
    N1 = 50*D1*(Sin[Θ1])^2*Exp[-D1/2/Lam1]; 
    N2 = 50*D2*(Sin[Θ1 - δ])^2*
        Exp[-D2/2/Lam2 - D1/Lam1];
Lam1 = 3; Lam2 = 3; L = 20 - D0; 
    k = 0.5; δ = 0; Θ1 = 0.3; L = 20; pad = 0.6; 
    Plot[Sqrt[((1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 
                      4 (N1 + 
                            N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                                  3 (d^2)) N2)) + pad^2/12)/(N1 + 
                N2)]/(L + D0/2), {D0, 0, 10}]

Clear[N1, N2, a1, a2, d, Θ1, δ, D1, D2, D0, L, k, 
      dn, pad]; a1 = D1*Tan[Θ1]; 
    a2 = D2*Tan[Θ1 - δ]; 
    d = L*Tan[Θ1] - (L + D1)*
          Tan[Θ1 - δ]; D1 = k*D0; D2 = D0 - D1; 
    N1 = 50*D1*(Sin[Θ1])^2*Exp[-D1/2/Lam1]; 
    N2 = 50*D2*(Sin[Θ1 - δ])^2*
        Exp[-D2/2/Lam2 - D1/Lam1];
Lam1 = 30; Lam2 = 30; L = 20 - D0; 
    k = 0.5; δ = 0; Θ1 = 0.3; pad = 0.6; 
    Plot[Sqrt[((1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 
                      4 (N1 + 
                            N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                                  3 (d^2)) N2)) + pad^2/12)/(N1 + 
                N2)]/(L + D0/2), {D0, 0, 10}]

Clear[N1, N2, a1, a2, d, Θ1, δ, D1, D2, D0, L, k, 
      dn, pad]; a1 = D1*Tan[Θ1]; 
    a2 = D2*Tan[Θ1 - δ]; 
    d = L*Tan[Θ1] - (L + D1)*
          Tan[Θ1 - δ]; D1 = k*D0; D2 = D0 - D1; 
    N1 = 50*D1*(Sin[Θ1])^2*Exp[-D1/2/Lam1]; 
    N2 = 50*D2*(Sin[Θ1 - δ])^2*
        Exp[-D2/2/Lam2 - D1/Lam1];
Lam1 = 30; Lam2 = 30; L = 20 - D0; k = 0.5; Θ1 = 0.3; 
    pad = 0.6; D0 = 4; 
    Plot[Sqrt[((1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 
                      4 (N1 + 
                            N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                                  3 (d^2)) N2)) + pad^2/12)/(N1 + 
                N2)]/(L + D0/2), {δ, 0, 0.06}]

Clear[N1, N2, a1, a2, d, Θ1, δ, D1, D2, D0, L, k, 
      dn, pad]; δ = dn/Θ1; 
    a1 = D1*Tan[Θ1]; a2 = D2*Tan[Θ1 - δ]; 
    d = L*Tan[Θ1] - (L + D1)*
          Tan[Θ1 - δ]; D1 = k*D0; D2 = D0 - D1; 
    N1 = 50*D1*(Sin[Θ1])^2*Exp[-D1/2/Lam1]; 
    N2 = 50*D2*(Sin[Θ1 - δ])^2*
        Exp[-D2/2/Lam2 - D1/Lam1];
Lam1 = 30; Lam2 = 30; L = 20 - D0; k = 0.5; Θ1 = 0.3; 
    pad = 0.6; D0 = 4; 
    Plot[Sqrt[((1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 
                      4 (N1 + 
                            N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                                  3 (d^2)) N2)) + pad^2/12)/(N1 + 
                N2)]/(L + D0/2), {dn, 0, 0.03}]

Clear[N1, N2, a1, a2, d, Θ1, δ, D1, D2, D0, L, k, 
      dn, pad]; δ = dn/Θ1; 
    a1 = D1*Tan[Θ1]; a2 = D2*Tan[Θ1 - δ]; 
    d = L*Tan[Θ1] - (L + D1)*
          Tan[Θ1 - δ]; D1 = k*D0; D2 = D0 - D1; 
    N1 = 50*D1*(Sin[Θ1])^2*Exp[-D1/2/Lam1]; 
    N2 = 50*D2*(Sin[Θ1 - δ])^2*
        Exp[-D2/2/Lam2 - D1/Lam1];
Lam1 = 30; Lam2 = 30; L = 20 - D0; Θ1 = 0.3; pad = 0.6; 
    D0 = 4; dn = 0.01; 
    Plot[Sqrt[((1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 
                      4 (N1 + 
                            N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                                  3 (d^2)) N2)) + pad^2/12)/(N1 + 
                N2)]/(L + D0/2), {k, 0.4, 0.6}]

Clear[N1, N2, a1, a2, d, Θ1, δ, D1, D2, D0, L, k, 
      dn, pad]; δ = dn/Θ1; 
    a1 = D1*Tan[Θ1]; a2 = D2*Tan[Θ1 - δ]; 
    d = L*Tan[Θ1] - (L + D1)*
          Tan[Θ1 - δ]; D1 = k*D0; D2 = D0 - D1; 
    N1 = 50*D1*(Sin[Θ1])^2*Exp[-D1/2/Lam1]; 
    N2 = 50*D2*(Sin[Θ1 - δ])^2*
        Exp[-D2/2/Lam2 - D1/Lam1];
Lam1 = 30; Lam2 = 30; L = 20 - D0; Θ1 = 0.3; pad = 0.6; 
    D0 = 4; Plot3D[
      Sqrt[((1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 4 (N1 + 
                            N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                                  3 (d^2)) N2)) + pad^2/12)/(N1 + 
                N2)]/(L + D0/2), {dn, 0, 0.03}, {k, 0.4, 
        0.6}]

Clear[N1, N2, a1, a2, d, Θ1, δ, D1, D2, D0, L, k, 
      dn, pad]; δ = dn/Θ1; 
    a1 = D1*Tan[Θ1]; a2 = D2*Tan[Θ1 - δ]; 
    d = L*Tan[Θ1] - (L + D1)*
          Tan[Θ1 - δ]; D1 = k*D0; D2 = D0 - D1; 
    N1 = 50*D1*(Sin[Θ1])^2*Exp[-D1/2/Lam1]; 
    N2 = 50*D2*(Sin[Θ1 - δ])^2*
        Exp[-D2/2/Lam2 - D1/Lam1];
Lam1 = 30; Lam2 = 30; L = 20 - D0; Θ1 = 0.3; pad = 0.6; 
    D0 = 4; FindMinimum[
      Sqrt[((1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 4 (N1 + 
                            N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                                  3 (d^2)) N2)) + pad^2/12)/(N1 + 
                N2)]/(L + D0/2), {dn, 0.01}, {k, 0.5}]

Clear[N1, N2, a1, a2, d, Θ1, δ, D1, D2, D0, L, k, 
      dn, pad]; δ = dn/Θ1; 
    a1 = D1*Tan[Θ1]; a2 = D2*Tan[Θ1 - δ]; 
    d = L*Tan[Θ1] - (L + D1)*
          Tan[Θ1 - δ]; D1 = k*D0; D2 = D0 - D1; 
    N1 = 50*D1*(Sin[Θ1])^2*Exp[-D1/2/Lam1]; 
    N2 = 50*D2*(Sin[Θ1 - δ])^2*
        Exp[-D2/2/Lam2 - D1/Lam1];
Lam1 = 30; Lam2 = 30; L = 20 - D0; Θ1 = 0.3; pad = 0.6; 
    D0 = 4; Plot3D[
      Sqrt[((1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 4 (N1 + 
                            N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                                  3 (d^2)) N2)) + pad^2/12)/(N1 + 
                N2)]/(L + D0/2), {dn, 0.005, 0.015}, {k, 0.4, 
        0.6}]

Clear[N1, N2, a1, a2, d, Θ1, δ, D1, D2, D0, L, k, 
      dn, pad]; δ = dn/Θ1; 
    a1 = D1*Tan[Θ1]; a2 = D2*Tan[Θ1 - δ]; 
    d = L*Tan[Θ1] - (L + D1)*
          Tan[Θ1 - δ]; D1 = k*D0; D2 = D0 - D1; 
    N1 = 50*D1*(Sin[Θ1])^2*Exp[-D1/2/Lam1]; 
    N2 = 50*D2*(Sin[Θ1 - δ])^2*
        Exp[-D2/2/Lam2 - D1/Lam1];
Lam1 = 30; Lam2 = 30; L = 20 - D0; Θ1 = 0.3; pad = 0.6; 
    D0 = 4; dn = 0.0082; 
    Plot[Sqrt[((1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 
                      4 (N1 + 
                            N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                                  3 (d^2)) N2)) + pad^2/12)/(N1 + 
                N2)]/(L + D0/2), {k, 0.4, 0.6}]

Clear[N1, N2, a1, a2, d, Θ1, δ, D1, D2, D0, L, k, 
      dn, pad]; δ = dn/Θ1; 
    a1 = D1*Tan[Θ1]; a2 = D2*Tan[Θ1 - δ]; 
    d = L*Tan[Θ1] - (L + D1)*
          Tan[Θ1 - δ]; D1 = k*D0; D2 = D0 - D1; 
    N1 = 50*D1*(Sin[Θ1])^2*Exp[-D1/2/Lam1]; 
    N2 = 50*D2*(Sin[Θ1 - δ])^2*
        Exp[-D2/2/Lam2 - D1/Lam1];
Lam1 = 30; Lam2 = 30; L = 20 - D0; Θ1 = 0.3; pad = 0.6; 
    D0 = 4; k = 0.455; 
    Plot[Sqrt[((1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 
                      4 (N1 + 
                            N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                                  3 (d^2)) N2)) + pad^2/12)/(N1 + 
                N2)]/(L + D0/2), {dn, 0.005, 0.011}]

Clear[N1, N2, a1, a2, d, Θ1, δ, D1, D2, D0, L, k, 
      dn, pad]; δ = dn/Θ1; 
    a1 = D1*Tan[Θ1]; a2 = D2*Tan[Θ1 - δ]; 
    d = L*Tan[Θ1] - (L + D1)*
          Tan[Θ1 - δ]; D1 = k*D0; D2 = D0 - D1; 
    N1 = 50*D1*(Sin[Θ1])^2*Exp[-D1/2/Lam1]; 
    N2 = 50*D2*(Sin[Θ1 - δ])^2*
        Exp[-D2/2/Lam2 - D1/Lam1];
Lam1 = 3; Lam2 = 3; L = 20 - D0; Θ1 = 0.3; pad = 0.6; 
    D0 = 4; FindMinimum[
      Sqrt[((1/(12 (((N1 + N2))^2))) (-3 (((a1 N1 + (a2 + 2 d) N2))^2) + 4 (N1 + 
                            N2) ((a1^2) N1 + ((a2^2) + 3 a2 d + 
                                  3 (d^2)) N2)) + pad^2/12)/(N1 + 
                N2)]/(L + D0/2), {dn, 0.01}, {k, 0.5}]